Gobierno. Se escribe con inicial mayúscula cuando significa ‘conjunto de las personas que gobiernan un Estado, formado por el presidente y sus ministros’, tanto en singular como en plural. Se escribe con minúscula en el resto de sus acepciones.

Presidente. ‘Persona que preside algo’ y, en una república, ‘jefe del Estado’. Por su terminación, puede funcionar como común en cuanto al género (el/la presidente); pero el uso mayoritario ha consolidado el femenino específico presidenta. Se escribe con minúscula.

Fuente: Diccionario panhispánico de dudas, editado por la Real Academia Española y la Asociación de Academias de la Lengua Española.