Se llama algoritmo de Euclides. Fue descrito alrededor del 300 antes de la era común y es uno de los algoritmos documentados más antiguos que siguen en uso activo.
En plena era de la inteligencia artificial y los chips de 3 nanómetros, un puñado de pasos ideados en la Antigüedad sigue siendo un engranaje central del mundo digital.
Una receta antes de que existiera la palabra “algoritmo”
Euclides no hablaba de “algoritmos”; ese término llegaría muchos siglos después, derivado del nombre del matemático persa Al-Juarismi.
Pero lo que dejó escrito en sus Elementos —una obra que durante siglos fue casi un sinónimo de “libro de matemáticas”— encaja perfectamente en la definición moderna: un procedimiento claro, finito y reproducible para resolver una tarea.
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El problema era simple de enunciar: dado un par de números, ¿cuál es el mayor número que los divide a ambos sin dejar resto? El máximo común divisor (MCD).
La solución de Euclides es sorprendentemente sencilla:
- Dividí el número mayor entre el menor.
- Quedate con el resto.
- Sustituí el mayor por el menor y el menor por el resto.
- Repetí el proceso hasta que el resto sea cero.
- El último resto no nulo es el MCD.
Ejemplo con números concretos:
- Queremos el MCD de 252 y 105.
- 252 ÷ 105 = 2, resto 42. Ahora miramos 105 y 42.
- 105 ÷ 42 = 2, resto 21. Ahora miramos 42 y 21.
- 42 ÷ 21 = 2, resto 0. Nos detenemos: el MCD es 21.
Nada de tablas infinitas, nada de fuerza bruta probando divisores uno a uno. Un puñado de divisiones basta, incluso cuando los números tienen cientos o miles de dígitos.
De los papiros a los procesadores: por qué sigue siendo imbatible
Podría parecer una curiosidad histórica, pero los ingenieros de software siguen usando esencialmente la misma secuencia de pasos que describió Euclides. El motivo es brutalmente pragmático: es difícil hacerlo mejor.
Desde el punto de vista de la complejidad computacional, el algoritmo de Euclides es extremadamente eficiente: el número de pasos crece, como mucho, proporcionalmente a la cantidad de dígitos del número más pequeño. En otras palabras, cuanto más grandes son los números, más se nota lo bien que escala el método.
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En un teléfono inteligente, donde cada milisegundo cuenta y donde se realizan miles de operaciones criptográficas invisibles al usuario, esta eficiencia importa.
Cada vez que el sistema necesita trabajar con números muy grandes —por ejemplo, claves de cifrado de 2048 o 4096 bits—, encontrar un MCD de forma rápida y fiable es fundamental.
El puente secreto hacia la criptografía moderna
La conexión entre Euclides y tu celular pasa, sobre todo, por la criptografía.
La seguridad digital moderna —desde el candado verde del navegador hasta el cifrado de extremo a extremo de las apps de mensajería— se basa en operaciones con números enteros gigantes, suele trabajar con propiedades de los números primos y requiere con frecuencia calcular inversos “módulo” otro número.
En ese terreno entra en escena una variante del algoritmo: el algoritmo de Euclides extendido. Además de encontrar el máximo común divisor de dos números, permite hallar cómo escribir ese MCD como una combinación lineal de ambos.
Traducido al lenguaje cotidiano: si el MCD de dos números es 1, el algoritmo extendido te permite encontrar un número que hace el papel de “inverso” dentro de una aritmética modular.
Ese cálculo es un pilar de sistemas como RSA, uno de los esquemas de cifrado de clave pública más usados en Internet, y de muchos algoritmos relacionados con curvas elípticas, empleados ya de forma rutinaria en conexiones seguras desde el móvil.
Aunque el usuario solo vea un icono de candado o un mensaje que dice “Esta conversación está cifrada de extremo a extremo”, su teléfono está ejecutando una coreografía matemática que incluye, entre bastidores, la receta de Euclides.
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El recorrido en un día cualquiera con tu celular
Sin que lo notes, el algoritmo de Euclides aparece en momentos muy distintos del uso diario de un teléfono:
- Cuando tu celular establece una conexión segura con un servidor (por ejemplo, al cargar la app de tu banco), se negocian claves y parámetros criptográficos donde intervienen operaciones con MCD.
- Servicios de mensajería como WhatsApp, Signal o iMessage se apoyan en protocolos de cifrado que, para generar y manejar claves, recurren a rutinas basadas en el algoritmo de Euclides extendido.
- Al actualizar el sistema operativo o instalar una app, el dispositivo verifica firmas digitales que garantizan que el software no ha sido modificado maliciosamente. Esa verificación vuelve a llevarnos a operaciones de teoría de números donde el MCD y sus variantes son herramientas básicas.
Nada de esto se expone al usuario final, pero sin esos cálculos invisibles, conceptos tan asumidos como “conexión segura” o “mensaje cifrado” sencillamente no funcionarían.
De herramienta aritmética a estándar de la ingeniería de software
Más allá de la criptografía, el algoritmo de Euclides se ha integrado en la caja de herramientas estándar de la ingeniería de software. Aparece, por ejemplo, en:
- Bibliotecas de cálculo simbólico y numérico que ejecutan motores de álgebra dentro de apps científicas y de ingeniería.
- Compresores y códecs que necesitan trabajar con proporciones y reducciones de fracciones en formatos multimedia.
- Sistemas de gráficos y audio que ajustan resoluciones, tasas de muestreo o relaciones de aspecto, donde reducir fracciones a su forma más simple evita errores de precisión.
En prácticamente cualquier lenguaje de programación usado hoy, desde C y Java hasta Python o Rust, es habitual encontrar implementaciones del algoritmo de Euclides en librerías estándar o utilidades comunes.
Muchos programadores lo aprenden en sus primeros cursos de algoritmos y estructuras de datos como ejemplo clásico de procedimiento elegante y eficiente.
La belleza de lo simple… que resiste siglos
En una época en la que la palabra “algoritmo” se asocia casi automáticamente con redes sociales, recomendaciones personalizadas o inteligencia artificial, el caso del algoritmo de Euclides ofrece un contrapunto: no todos los algoritmos son cajas negras inabarcables ni necesitan millones de parámetros para ser útiles.
Su fuerza radica precisamente en lo contrario: en su simplicidad, en su generalidad y en su demostrable corrección.
Se puede explicar con lápiz y papel en pocos minutos, se puede demostrar rigurosamente por qué siempre funciona, y se puede implementar en casi cualquier dispositivo imaginable, desde una calculadora de bolsillo hasta un superordenador.
Que una instrucción de hace más de 23 siglos sea todavía parte esencial de la ciberseguridad cotidiana dibuja una línea directa entre la matemática antigua y la infraestructura digital contemporánea.
No es solo una curiosidad histórica; es una muestra de cómo ciertas ideas, si están bien planteadas, trascienden el contexto en el que fueron concebidas.
Mientras la tecnología a tu alrededor cambia de modelo cada año y tu celular se queda obsoleto en cuestión de temporadas, en su interior sigue corriendo una pequeña máquina lógica que habla directamente con el mundo de Euclides. Una receta de la Antigüedad que, lejos de descansar en un museo, se ejecuta sin descanso en el bolsillo de millones de personas.