Ejemplo 1
Calcula dos números positivos cuya diferencia es 5 y tal que la suma de sus cuadrados sea igual a 73.
Solución
Números buscados: x (primer número); x – 5 (segundo número)
Según las condiciones del problema: x² + (x-5)² = 73
Desarrollamos el cuadrado del binomio: x² + x² – 10x + 25 = 73
Hacemos transposición de términos y reducimos términos semejantes: 2x² - 10x - 48 =0
Dividimos ambos miembros de la ecuación entre 2: x² - 5 x - 24 =0
Factorizamos el primer miembro: (x -8) (x +3) = 0
Despejamos los valores de x: x = 8 y x = -3
Respuesta: los números son: 8 y 8 – 5 = 3
Lea más: Ecuaciones cuadráticas (2)
Ejemplo 2
Una piscina rectangular de 20 m de ancho por 55 m de largo está rodeada por un camino de cemento de ancho uniforme. Si el área del camino de cemento es 400 m², encuentra el ancho.
Solución
Número buscado: x que representa el ancho del camino
Según las condiciones del problema: área total menos área de la piscina = 400
Ecuación construida: (55 +2x) (20 + 2x) - 55. 20 = 400
Aplicamos la distributiva: 55. 20 + 110x + 40x + 4x² - 55. 20 = 400
Reducimos términos semejantes: 150x + 4x² = 400
Reordenamos los elementos de la ecuación cuadrática: 4x² +150x - 400= 0
Dividimos entre dos cada uno de los términos de la ecuación: 2x² + 75x - 200 = 0
Resolvemos la ecuación cuadrática por factorización: (x+ 40) (2x – 5) = 0
Despejamos los valores de x: x = - 40 y x = 5/2
Descartamos x = -45 porque se refiere a una longitud.
Respuesta: la anchura del camino es de 2,5 m.
Lea más: Ecuaciones cuadráticas (1)
Ejemplo 3
Si el lado de un cuadrado se aumenta en 4 cm, el área del cuadrado aumenta en 80 cm². Calcula la longitud del lado del cuadrado.
Solución
Lado del cuadrado: x
Área del cuadrado: x²
El lado aumenta en 4 cm: x + 4
El área aumenta en 80 cm²= x² + 80
Ecuación planteada: (x + 4)² = x² + 80
Desarrollamos el cuadrado del binomio: x² + 8x + 16 = x² + 80
Transponemos términos y reducimos términos semejantes:
x² + 8x– x² = 80 - 16
8x = 64
x = 8 cm
Comprobación: área del cuadrado original: 8² = 64; área del cuadrado después de aumentar cada lado en 4 unidades (8+4)² = 12² = 144; diferencia de las áreas 144 - 64 = 80 cm²