Dada la sucesión 2, 6, 18, 54, 162, 486 podemos notar que cada uno de los términos, a partir del segundo se obtiene multiplicando el anterior por 3.
Además, podemos notar que 2 x 486 = 972 ; 6 x 162 = 9 72 ; 18 x54 = 972; es decir, que el producto de los extremos es siempre un valor constante.
A este tipo de sucesiones, en las que cada término a partir del segundo se obtiene multiplicando el término anterior por una constante, le llamamos progresión geométrica. A la constante que se multiplica por cada término para obtener el siguiente le llamamos razón geométrica o simplemente razón.
Para diferenciar los términos de una progresión geométrica de una progresión aritmética, a los de la geométrica los representaremos mediante t1, t2, t3, …tn.
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El término tn se llama enésimo término de la progresión geométrica.
Problema
Juan y Pedro están jugando a decir números relacionados. Juan dice el número 4. Pedro dice el 16, Juan dice el 64 y así continúan el juego hasta que en total dicen 4 números cada uno. ¿Quién dice el último número? ¿Cuál fue el último número que dijo Juan?
Probablemente te llevó bastante tiempo resolver los problemas anteriores. Para evitar que eso suceda y facilitar más el trabajo para problemas más complejos, vamos a deducir dos fórmulas: la primera, nos permitirá encontrar el enésimo término de una progresión geométrica y la segunda, nos permitirá encontrar la suma de los términos de una progresión geométrica.
Si n = 1, el primer término es t1
Si n = 2, el segundo término es t2 = t1 .r , donde «r» es la razón.
Si n = 3; el tercer término es t3= t2 . r = (t1 . r). r = t1 r2.
Si n = 4; el cuarto término es t4= t3 . r = (t1 . r2). r = t1 r3.
Si n = 5; el quinto término es t5= t4 . r = (t1 . r3). r = t1 r4.
En general, podemos ver que tn = t1rn – 1, que nos permite calcular el término de la posición n conociendo el valor del primer término y de n.
La deducción de la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica requiere de un poco de atención, pero tampoco es demasiado compleja.
Actividad
Una máquina costó inicialmente 10 480 dólares. Al cabo de algunos años se vendió por la mitad de precio. Luego de unos años, se volvió a vender la máquina nuevamente por la mitad de su precio actual y así sucesivamente.
¿Cuánto le costó la máquina al quinto propietario?
¿Cuánto se pagó en total por la máquina desde el inicio hasta el sexto propietario?