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Antes de ser diputado por el departamento de Amambay, de donde era oriundo y para el que fue electo por el periodo 2018-2023, fue senador por dos periodos consecutivos (2008-2013 y 2013-2018) en representación de su partido.
Tambien fue concejal y presidente de la Junta Muncipal en 2002 y gobernador del departamento de Amambay en el periodo 2003-2008.
Su familia también siempre estuvo vinculada a la política. Su ahora viuda Zulma Icassatti es actualmente concejala del municipio de Pedro Juan Caballero, su hermano José Carlos Acevedo es intendente y su otro hermano Ronald Acevedo es gobernador de Amambay.
En el campo privado Robert Acevedo era licenciado en Ciencias Contables y también era conocido como prospero empresario, ganadero y comerciante.
Su carrera política no estuvo excenta de polémicas y hechos notables. Siempre se declaró como enemigo de la mafia, pero sus detractores decían que estaba vinculado a ese mundo. Su familia mantuvo siempre una rivalidad histórica con la del exdiputado amambaiense Pedro González, también liberal. Mutuamente se acusaban de estar vicnulados al narcotráfico, al contrabando y otros ilícitos.
No obstante, Acevedo nunca fue señalado oficialmente como vinculado al tráfico e inclusive recibió en 2004 un reconocimiento de la Secretaría Nacional Antidrogas por su colaboración en la lucha contra este flagelo.
Sobrevivió a un atentado el 26 de abril de 2010, en el que fue atacado a tiros por sicarios cuando iba en su vehículo, recibió dos disparos, de los que pudo recuperarse. Su chofer y su custodio fallecieron en el episodio.
Uno de los episodios políticos más importantes de los que fue protagonista transcurrió en marzo de 2017 cuando colorados cartistas, liberales llanistas y el frente Guazu impulsaron una cuestionada enmienda constitucional por la que pretendían habilitar la posibilidad de reelección para el entonces presidente Horacio Cartes y para el expresidente Fernando Lugo.
Robert Acevedo se mantuvo firme del lado de los senadores en minoría que se declararon en sesión permanente, permanecieron en la sede legislativa cuando esta fue incendida parcialmente el 31 de marzo de 2017 por manifestantes. La enmienda, considerada como una violación de la Constitución, finalmente no prosperó. Significó una derrota política del cartismo y dejó a su paso el asesinato del joven militante Rodrigo Quintana, a manos de policía en la sede del PLRA.
Otra actuación política clave de Acevedo se dio cuando asumió en este periodo la banca de diputados el 1 de julio de 2018 y su voto fue clave para que sea electo el diputado colorado abdista Miguel Cuevas como pesidente, postergando un plan cartista junto a sectores de la oposición.
Su última gran polémica se desarrolló en abril de 2020 cuando, desde la emisora radil de su propiedad, insultó con palabras irreproducibles a la fiscala Katia Uemura. Fue muy criticado y pidió disculpas.
Su ajetreada vida se detuvo hoy a causa del virus del Covid-19.